Question

某同學為研究函數0＜x＜1）的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數的極值點是    ，函數的值域是    ．

Answer 1

【答案】分析：分別在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=+．運動點P，可得A、P、B三點共線時，PA+PF取得最小值；當P在點B或點C時，PA+PF取得最大值．由此即可推知函數的極值點及函數f（x）的值域．
解答：解：Rt△PCF中，PF==
同理可得，Rt△PAB中，PA=
∴PA+PF=+．
從運動的觀點看，當點P從C點向點B運動的過程中，
在運動到BC的中點之前，PA+PF的值漸漸變小，過了中點之后又漸漸變大，
∵當點P在BC的中點上時，即A、B、P三點共線時，即P在矩形ADFE的對角線AF上時，
PA+PF取得最小值 =，
當P在點B或點C時，PA+PF取得最大值 +1．
∴≤PA+PF≤+1，可得函數的極值點是 ；
函數f（x）=AP+PF的值域為[，]．
故答案為：；[，]．
點評：本題以一個實際問題為例，求函數的值域，著重考查了勾股定理和函數的值域及其求法等知識點，屬于基礎題．