Question

已知函數f(x)=x+

a

x2

，其中a∈R．
（Ⅰ）若函數f（x）為奇函數，求實數a的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[2，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得f（-x）=-f（x），即-x+

a

x2

=-x-

a

x2

，由此求得a的值．
（Ⅱ）根據f（x）在區間[2，+∞）上單調遞增，可得f′(x)=1-

2a

x3

≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≤

1

2

x3在[2，+∞）上恒成立，求得y=

1

2

x3在[2，+∞）上的最
小值y_min=4，可得a≤4，驗證知當a≤4滿足條件．

解答：解：（Ⅰ）解：因為f(x)=x+

a

x2

是奇函數． 所以f（-x）=-f（x），其中x∈R且x≠0．…（2分）
即-x+

a

x2

=-x-

a

x2

，其中x∈R且x≠0．
所以a=0．…（6分）
（Ⅱ）解：f′(x)=1-

2a

x3

．…（8分）
因為f（x）在區間[2，+∞）上單調遞增，
所以 f′(x)=1-

2a

x3

≥0在[2，+∞）上恒成立，…（9分）
即a≤

1

2

x3在[2，+∞）上恒成立，
因為y=

1

2

x3在[2，+∞）上的最小值y_min=4，
所以 a≤4，驗證知當a≤4時，f（x）在區間[2，+∞）上單調遞增．…（13分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的應用，函數的恒成立問題，屬于中檔題．