Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上給定兩點(diǎn)A、B試在x軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值．

Answer 1

分析：首先題目給定y軸的正半軸上的兩點(diǎn)A、B，求x軸的正半軸上點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值．故可以設(shè)A的坐標(biāo)為（0，a）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），C的坐標(biāo)為（x，0）記∠BCA=α，∠OCB=β，．然后根據(jù)三角形角的關(guān)系，求出tanα的值再根據(jù)基本不等式求出其最大值，因?yàn)樵?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(0，

π

2

)內(nèi)tanα是增函數(shù)，即所得的角為最大角．

解答：解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，a）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），0＜b＜a，又設(shè)所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0）．
記∠BCA=α，∠OCB=β，則∠OCA=α+β．顯然，0＜α＜

π

2

．現(xiàn)在有
tanα=tg[（α+β）-β]=

tg(α+β)-tanβ

1+tg(α+β)tanβ

=

a x - b x

1+ ab x2

=

a-b

x+ ab x

=

a-b

ab ( x ab + ab x )

．
記y=

x

ab

+

ab

x

，那么，當(dāng)x=

ab

時(shí)，y取得最小值2
因此，當(dāng)x=

ab

時(shí)，tanα取得最大值

a-b

2 ab

．
因?yàn)樵?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(0，

π

2

)內(nèi)tanα是增函數(shù)，所以當(dāng)x=

ab

時(shí)，∠ACB取最大值arctg

a-b

2 ab

．
故所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

ab

，0）．
故答案為（

ab

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，題中涉及到兩角和與差的正切函數(shù)，有一定的技巧性，屬于中檔題目．