Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）的最小值為g（a），求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞），

而 ，

∵a＞0，x＞﹣1，∴當(dāng) 時，f'（x）＜0，

當(dāng) 時，f'（x）＞0，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）解：由（1）可知，f（x）的最小值

為 ，a＞0．

要證明 ，

只須證明 成立．

設(shè) ，x∈（0，+∞）．

則 ，

∴φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 ．

取 得到 成立．

設(shè)ψ（x）=ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），同理可證ln（x+1）＜x．

取 得到 成立．因此，

【解析】（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案；（2）由（1）可知，f（x）的最小值為 ，a＞0，構(gòu)造函數(shù)設(shè) ，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明結(jié)論．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．