Question

已知函數f(x)=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

（1）求f(

π

4

)的值；
（2）寫出函數函數在(

π

2

，π)上的單調區間和值域．

Answer 1

分析：（1）化簡所給函數的解析式是解題的第一步，如

1-sinx 1+sinx

=

(1-sinx)(1+sinx) (1+sinx)(1+sinx)

，目的是去掉根號，簡化式子，
（2）最終化成y=Asin（wx+h）+b的形式，利用三角函數的性質解決問題．

解答：解：f(x)=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

=cosx•

(1-sinx)2 cos2x

+sinx•

(1-cosx)2 sin2x

c3

c1

（4分）
（1）當x∈(0，

π

2

)時，f（x）=2-sinx-cosx，故f(

π

4

)=2-

2

．（6分）
（2）當x∈(

π

2

，π)時，|cosx|=-cosx，|sinx|=sinx，
故f(x)=cosx•

1-sinx

-cosx

+sinx•

1-cosx

sinx

=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，（8分）
當x∈(

π

2

，π)時x-

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
故當x∈[

π

2

，

3π

4

]是，函數f（x）單調遞增，
當x∈[

3π

4

，π]時，函數f（x）單調遞減；函數的值域是(1，

2

]．（12分）

點評：本題目中去掉根號的方法是常用的技巧，必須要掌握，另外對于形如y=Asin（wx+h）+b的形式三角函數的圖象與性質要熟悉，
這是解決此類問題的關鍵所在．