Question

．．（本小題滿分12分）如圖，在正方體中，
、分別為棱、的中點(diǎn)．
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面⊥平面；
（3）如果，一個(gè)動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在正方體的
表面上依次經(jīng)過棱、、、、上的點(diǎn)，最終又回到點(diǎn)，指出整個(gè)路線長度的最小值并說明理由.

Answer 1

在正方體中，對角線.

又 E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)，
.
.                                                      …………2分
又B₁D₁平面，平面，
  EF∥平面CB₁D₁.                                                …………4分
（2）證明: 在正方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，
 AA₁⊥B₁D₁.
又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.                  …………6分
又 B₁D₁平面CB₁D₁，
平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．             …………8分
（3）最小值為 .                    …………9分
如圖，將正方體六個(gè)面展開成平面圖形，                             …………10分
從圖中F到F，兩點(diǎn)之間線段最短，而且依次經(jīng)過棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中點(diǎn)，所求的最小值為 .                                            …………12分.

解析