Question

設集合M={x|f（x）=x}，集合{x|f（f（x））=x}，若已知函數y=f（x）是R上的增函數，記|M|，|N|是M，N中元素的個數，則下列判斷一定正確的是

1. A.
   |M|=|N|
2. B.
   |M|＞|N|
3. C.
   |M|＜|N|
4. D.
   ||M|-|N||=1

Answer 1

A
分析：欲比較|M|，|N|是M，N中元素的個數，關鍵是看集合M，N的關系，一方面，若x∈M，即f（x）=x，從而f（f（x））=f（x）=x，得出x∈N，另一方面，反之，若x∈N，即f（f（x））=x，利用反證法可得：f（x）=x，從而得出M=N．
解答：若x∈M，即f（x）=x，
從而f（f（x））=f（x）=x，
∴x∈N，
反之，若x∈N，即f（f（x））=x，
當f（x）=x時成立，若f（x）≠x，∵函數y=f（x）是R上的增函數，
從而f（f（x））≠f（x）=x，這與f（f（x））=x矛盾，
故必有：f（x）=x
∴x∈M，
綜上所述：M=N，
∴|M|=|N|
故選A．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、集合的包含關系判斷及應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查分析問題的能力．屬于基礎題．