Question

已知{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列；若數列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2^a_n．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）求證：b_n•b_n+2＜b_n+1²．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件知b_n+1-b_n=2ⁿ．由此能夠求出數列{b_n}的通項公式．
（2）做差比較，由b_n•b_n+2-b_n+1²=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²=（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1）-（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1）=-2ⁿ，與0比較可得答案．
解答：解：（1）由已知得a_n=n．從而b_n+1=b_n+2ⁿ，即b_n+1-b_n=2ⁿ．（2分）
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=．（6分）
（2）因為b_n•b_n+2-b_n+1²=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²
=（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1）-（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1）=-2ⁿ＜0，
∴b_n•b_n+2＜b_n+1²．（12分）
點評：本題考查數列的性質和不等式的解法，解題時要注意公式的靈活運用．