Question

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)λ取何值時(shí)，方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有實(shí)數(shù)解？

Answer 1

（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0.
設(shè)x∈（﹣1，0），則﹣x∈（0，1），==﹣f（x）
∴
∴
（Ⅱ）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴，，
∴f（x₁）﹣f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．
（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
∴f（1）＜f（x）＜f（0）即
同理，f（x）在（﹣1，0）上時(shí)，f（x）
又f（0）=0
當(dāng)或或λ=0時(shí)方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有實(shí)數(shù)解．