Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數f(x)的極值點的個數；

（2）若f(x)有兩個極值點證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求得函數的定義域和導數，然后對實數進行分類討論，分析導數在區間的零點個數，結合導數的符號變化可得出結論；

（2）由（1）知，并且、是關于的二次方程的兩根，利用韋達定理得出，，令，利用導數證明出不等式對任意的恒成立即可.

（1）因為定義域為，

所以.

（ⅰ）當時，，由得

當時，，當時，，

所以是函數的一個極值點；

（ⅱ）當時，.

①若，即當時，，

此時，函數在是減函數，函數無極值點，

若，即時，

方程有兩根、，，，

，，不妨設，

當和時，，時，，

、是函數的兩個極值點.

綜上所述時，函數有一個極值點；

當時，函數無極值點；

當時，函數有兩個極值點；

（2）由（1）可知當且僅當時，函數有極小值點和極大值點，

且、是方程的兩個正根，則，，

令，則

所以，函數在上單調遞增，故，

故．