Question

（2009•閔行區(qū)二模）（文）如圖幾何體是由一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁與一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱錐P-A₁B₁C₁D₁組合而成．
（1）求該幾何體的主視圖的面積；
（2）若點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，求異面直線AE與PA₁所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（1）畫(huà)出其主視圖，可知其面積S為三角形與正方形面積之和，求出在正四棱錐P-A₁B₁C₁D₁中棱錐的高，即可求出該幾何體的主視圖的面積；
（2）取B₁C₁中點(diǎn)E₁，連接A₁E₁則∠PA₁E₁為異面直線AE與PA₁所成角，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．

解答：（文）解：（1）畫(huà)出其主視圖（如圖），
可知其面積S為三角形與正方形面積之和．
在正四棱錐P-A₁B₁C₁D₁中，棱錐的高h=

2

，（2分）
S=

1

2

•2•

2

+4=

2

+4．（6分）
（2）取B₁C₁中點(diǎn)E₁，連接A₁E₁，∵A₁E₁∥AE
則∠PA₁E₁為異面直線AE與PA₁所成角．（2分）
在△PA₁E₁中，A1E1=

5

，PA1=2，
又在正四棱錐P-A₁B₁C₁D₁中，斜高為PE1=

3

，（4分）
由余弦定理可得  cos∠PA1E1=

4+5-3

2•2• 5

=

3

10

5

（6分）
所以∠PA1E1=arccos

3

10

5

，異面直線AE與PA₁所成的角為arccos

3

10

5

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三視圖和異面直線所成角，以及平面圖象的面積的計(jì)算，屬于中檔題．