Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，則CD與平面BDC₁所成角的正弦值等于（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  3

  3

• C．

  2

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：設(shè)AB=1，則AA₁=2，分別以

D1A1

、

D1C1

、

D1D

的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

n

=（x，y，z）為平面BDC₁的一個(gè)法向量，CD與平面BDC₁所成角為θ，
則sinθ=|

n • DC

| n || DC |

|，在空間坐標(biāo)系下求出向量坐標(biāo)，代入計(jì)算即可．

解答：解：設(shè)AB=1，則AA₁=2，分別以

D1A1

、

D1C1

、

D1D

的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
如下圖所示：

則D（0，0，2），C₁（0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2），

DB

=（1，1，0），

DC1

=（0，1，-2），

DC

=（0，1，0），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面BDC₁的一個(gè)法向量，則

n • DB =0 n • DC1 =0

，即

x+y=0 y-2z=0

，取

n

=（-2，2，1），
設(shè)CD與平面BDC₁所成角為θ，則sinθ=|

n • DC

| n || DC |

|=

2

3

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角，考查空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用，準(zhǔn)確理解線面角與直線方向向量、平面法向量夾角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．