Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁=1，D、E分別為棱AB、BC的中點，M為棱AA₁上的點．
（1）證明：A₁B₁⊥C₁D；
（2）當AM=

3

2

時，求二面角M-DE-A的大小．

Answer 1

分析：（1））以C為坐標原點建立空間直角坐標系C-xyz，利用

A1B1

•

C1D

=0．證明A₁B₁⊥C₁D
（2）分別求出平面MDE，平面DEA的一個法向量，利用兩個法向量夾角求二面角M-DE-A的大小．

解答：（1）證明：以C為坐標原點建立空間直角坐標系C-xyz，則A₁（1，0，1），B₁（0，1，1），C₁（0，0，1），D（

1

2

，

1

2

，0），

A1B1

=（-1，1，0），

C1D

=（

1

2

，

1

2

，-1），則

A1B1

•

C1D

=0．所以

A1B1

⊥

C1D

=0．所以A₁B₁⊥C₁D；   …（6分）
（2）解：M(1，0，

3

2

)，E(0，

1

2

，0)，

ED

=(

1

2

，0，0)，

ME

=(-1，

1

2

，-

3

2

)，
設

n

=（x，y，z）為平面MDE的一個法向量．則

n • ED =0 n • ME =0

即

1 2 x=0 -x+ 1 2 y- 3 2 z=0

，令y=

3

，則x=0，z=1，所以

n

=（0，

3

，1）
又

CC1

=（0，0，1）為平面DEA的一個法向量，所以cos＜

n

，

CC1

＞=

n • CC1

|n| |CC1 |

=

1

2

所以二面角M-DE-A的大小為

π

3

．

點評：本題考查空間直線和直線的位置關系，二面角大小求解．考查邏輯思維、空間想象能力、論證計算能力．