Question

已知A（-1，0），B（1，0），P是圓C：（x-3）²+（y-4）²=4上的任意一點，則|PA|²+|PB|²的最大值與最小值各位多少（　�。�

A．100，65

B．65，20

C．100，20

D．100，45

Answer 1

分析：先根據A，B的坐標分別表示出|OA|和|OB|，進而可求得

OA

+

OB

和

OA

•

OB

的值，進而根據中點公式求得 

PA

+

PB

=2

PO

，進而求得|

PA

|²+|

PB

|²的表達式，同時根據點P在圓上求得 

OC

和 

OP

，進而根據|

OC

|-|

CP

|≤|

OP

|=|

OC

+

CP

|≤|

OC

|+|

CP

|求得 

OP

的范圍，進而求得|

PA

|²+|

PB

|²的最大值和最小值

解答：解：設已知圓的圓心為C，由已知可得

OA

=（-1，0），

OB

=（1，0），
∴

OA

+

OB

=0，

OA

•

OB

=-1，又由中點公式得

PA

+

PB

=2

PO

，
所以|

PA

|²+|

PB

|²=（

PA

+

PB

）²-2•

PA

•

PB

=（2

PO

）²-2（

OA

-

OP

）•（

OB

-

OP

）
=4|

PO

|²-2

OA

•

OB

-2|

OP

|²+2

OP

•(

OA

+

OB

)）=2|

OP

|²+2，
又因為

OC

=（3，4）點P在圓（x-3）²+（y-4）²=4上，
所以|

OC

|=5，|

CP

|=2，且

OP

=

OC

+

CP

，
所以|

OC

|-|

CP

|≤|

OP

|=|

OC

+

CP

|≤|

OC

|+|

CP

|，
即3≤|

OP

|≤7，故20≤|

PA

|²+|

PB

|²=2|

OP

|2+2≤100，
所以|PA|²+|PB|²的最大值為100，最小值為20．

點評：本題主要考查了圓的方程的綜合運用和向量的基本計算．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．