Question

已知函數f(x)=x²+2x+alnx.

(1)若f(x)在區間(0,1］上恒為單調函數，求實數a的取值范圍；

(2)當t≥1時，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求實數a的范圍.

Answer 1

解：f′(x)=2x++2,                                                         

(1)若f(x)是(0,1］上的增函數，則f′(x)=2x++2≥0.

在(0,1］上恒成立，即a≥-2x²-2x.

令g(x)=-2x²-2x,x∈(0,1］，∴g(x)_max=0,∴a≥0.                                    

若f(x)在(0,1］上單調遞減，則f′(x)=2x++2≤0.

在x∈(0,1］上恒成立，

即a≤-2x²-2x,x∈(0,1］，g(x)=-2x²-2x,當x∈(0,1］,g(x)_min=-4.∴a≤-4,                 

∴當f(x)在(0,1］恒為單調函數時，a≥0或a≤-4.                                 

(2)∵f(x)=x²+2x+alnx，由f(2t-1)≥2f(t)-3得

(2t-1)²+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2(t²+2t+alnt)-3,

化簡為：2(t-1)≥aln.①                                                   

∵當t＞1時，有t²＞2t-1,∴ln＞0.

故a≤,②                                                           

構造函數m(x)=ln(1+x)-x  (x＞-1),

m′(x)=-1=,

則m(x)在x=0取得極大值，同時也是最大值，故m(x)≤m(0),

從而ln(1+x)≤x在x＞-1時恒成立，故

ln=ln［1+］≤＜(t-1)²,③

當t＞1時恒成立，而t=1時，③式取得“=”,

∴ln≤(t-1)²,④

當t≥1時恒成立，因此由②③④可知實數a的范圍為a≤2.