Question

已知函數f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的導函數．
（1）求函數g（x）=f（x）•f'（x）的最小值及相應的x值的集合；
（2）若f（x）=2f′（x），求tan( x+

π

4

 )的值．

Answer 1

分析：（1）求出導數f′（x），表示出g（x）并化簡，由余弦函數的性質可求其最小值及相應x的值的集合；
（2）由f（x）=2f′（x）可求得tanx值，利用和角正切公式可求得tan( x+

π

4

 )的值；

解答：解：（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f'（x）=cosx-sinx，
∴g（x）=f（x）•f'（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x，
∴當2x=-π+2kπ（k∈Z），即x=-

π

2

+kπ ( k∈Z )時，g（x）取得最小值-1，
相應的x值的集合為{ x|x=-

π

2

+kπ ，  k∈Z }．      
（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，故tanx=

1

3

，
∴tan( x+

π

4

 )=

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=

1+ 1 3

1- 1 3

=2．

點評：本題考查導數的運算法則及兩角和差的正切函數，考查學生的運算求解能力．