Question

存在x＜0使得不等式x²＜2-|x-t|成立，則實數t的取值范圍是

（-

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，2）

．

Answer 1

分析：本題利用純代數討論是很繁瑣的，要用數形結合．原不等式x²＜2-|x-t|，即|x-t|＜2-x²，分別畫出函數y₁=|x-t|，y₂=2-x²，這個很明確，是一個開口向下，關于y軸對稱，最大值為2的拋物線；要存在x＜0使不等式|x-t|＜2-x²成立，則y₁的圖象應該在第二象限（x＜0）和y₂的圖象有交點，再分兩種臨界講座情況，當t≤0時，y₁的右半部分和y₂在第二象限相切；當t＞0時，要使y₁和y₂在第二象限有交點，最后綜上得出實數t的取值范圍．

解答：解：不等式x²＜2-|x-t|，即|x-t|＜2-x²，
令y₁=|x-t|，y₁的圖象是關于x=t對稱的一個V字形圖形，其象位于第一、二象限；
y₂=2-x²，是一個開口向下，關于y軸對稱，最大值為2的拋物線；
要存在x＜0，使不等式|x-t|＜2-x²成立，則y₁的圖象應該在第二象限和y₂的圖象有交點，兩種臨界情況，①當t≤0時，y₁的右半部分和y₂在第二象限相切：
 y₁的右半部分即y₁=x-t，
聯列方程y=x-t，y=2-x²，只有一個解；
即x-t=2-x²，即x²+x-t-2=0，△=1+4t+8=0，得：t=-

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；
此時y₁恒大于等于y₂，所以t=-

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取不到；
所以-

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＜t≤0；
②當t＞0時，要使y₁和y₂在第二象限有交點，
即y₁的左半部分和y₂的交點的位于第二象限；
無需聯列方程，只要y₁與y軸的交點小于2即可；
y₁=t-x與y軸的交點為（0，t），所以t＜2，
又因為t＞0，所以0＜t＜2；
綜上，實數t的取值范圍是：-

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＜t＜2；
故答案為：（-

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，2）．

點評：本小題主要考查函數圖象的應用、二次函數、絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．