Question

三位同學在研究函數（x∈R） 時，分別給出下面三個結論：
①函數f（x）的值域為 （-1，1）
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若規定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則對任意n∈N^*恒成立．
你認為上述三個結論中正確的個數有    ．

Answer 1

【答案】分析：函數化為分段函數即函數∵f（-x）=-f（x）∴函數為奇函數，從而判斷函數當x≥0時的性質即可，由值域和單調性可得①②正確，③的正確性可用數學歸納法證明
解答：解：函數化為分段函數即函數
∵f（-x）=-f（x）
∴函數為奇函數，
∵x≥0時，f（x）==∈[0，1）
∴函數f（x）的值域為 （-1，1），故①正確
∵x≥0時，f（x）==為[0，+∞）的單調增函數
∴函數f（x）為R上的單調增函數，
∴若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故②正確
下面用數學歸納法證明③正確
證明：n=1時，命題顯然成立；
假設n=k時命題成立，即
則n=k+1時，f_k+1（x）=f（f_k（x））===
即n=k+1時命題成立
∴對任意n∈N^*恒成立
故答案為3
點評：本題考查了函數的值域的求法，函數單調性的定義及判斷方法，函數與數列的綜合，解題時要緊緊抓住函數的奇偶性解決問題