Question

設p，q為實數，α，β是方程x²－px＋q＝0的兩個實根，數列{x_n}滿足x₁＝p，x₂＝p²－q，x_n＝px_n－1－qx_n－2(n＝3，4，…)．(1)證明：α＋β＝p，αβ＝q；(2)求數列{x_n}的通項公式；(3)若p＝1，，求{x_n}的前n項和S_n．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由求根公式，不妨設，得 　　， 　　(2)設，則，由得， 　　消去，得，是方程的根，由題意可知， 　　①當時，此時方程組的解記為 　　 　　即、分別是公比為、的等比數列， 　　由等比數列性質可得，， 　　兩式相減，得 　　，， 　　， 　　，即， 　　②當時，即方程有重根，， 　　即，得，不妨設，由①可知 　　，， 　　即，等式兩邊同時除以，得，即 　　數列是以1為公差的等差數列，， 　　綜上所述， 　　(3)把，代入，得，解得