Question

已知函數f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)-sinxcosx+

1

4

（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的余弦公式、二倍角的三角函數公式和輔助角公式化簡，得f（x）=

2

2

cos(2x+

π

4

)，由此可得函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）根據三角函數的單調區間公式解不等式，得出f（x）的單調遞減區間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈z)，再將此區間與[0，π]取交集，即可得到f（x）在[0，π]上的單調遞減區間．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)-

1

2

sin2x+

1

4

=(

1

2

cosx-

3

2

sinx)(

1

2

cosx+

3

2

sinx)-

1

2

sin2x+

1

4

=

1

4

cos2x-

3

4

sin2x-

1

2

sin2x+

1

4

=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

-

1

2

sin2x+

1

4

=

1

2

(cos2x-sin2x)=

2

2

cos(2x+

π

4

)；
∴函數f（x）的最小正周期為 T=π，函數f（x）的最大值為

2

2

；
（2）設2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π(k∈z)，解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

(k∈z)．
∴函數f（x）的單調遞減區間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈z)；
又∵x∈[0，π]，
∴分別取k=0和1，取交集可得f（x）在[0，π]上的單調遞減區間為[0，

3π

8

]和[

7π

8

，π]．

點評：本題給出三角函數式的化簡，求函數的單調區間、周期與最值．著重考查了三角恒等變換公式、三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．