Question

已知函數f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a為常數，e為自然對數的底）．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=0時取得極小值，試確定a的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設由f（x）的極大值構成的函數為g（x），試判斷曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n為確定的常數）中的哪一條相切，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出導函數的兩個根，就兩根的大小分類討論，在各類中判斷根左右兩邊的導函數正負，據極值的定義求出極小值．
（II）借助（I）求出極大值g（x），求出g（x）的導函數g′（x），據導數的幾何意義，g′（x）的范圍即為切線斜率的范圍，再通過g′（x）的導數研究g′（x）的單調性，判斷出g′（x）范圍即切線斜率的范圍．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]=e^-x•（-x）•[x-（2-a）]，令f'（x）=0，
得x=0或x=2-a，
當a=2時，f'（x）=-x²e^-x≤0恒成立，此時f（x）單調遞減；
當a＜2時，f'（x）＜0時，2-a＞0，
若x＜0，則f'（x）＜0，若0＜x＜2-a，則f'（x）＞0，x=0是函數f（x）的極小值點；
當a＞2時，2-a＜0，若x＞0，則，若2-a＜x＜0，則f'（x）＞0，
此時x=0是函數f（x）的極大值點，
綜上所述，使函數f（x）在x=0時取得極小值的a的取值范圍是a＜2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＜2，且當x＞2-a時，f'（x）＜0，
因此x=2-a是f（x）的極大值點，f_max（x）=f（2-a）=（4-a）e^a-2，
于是g（x）=（4-x）e^x-2（x＜2）
g'（x）=-e^x-2+e^x-2（4-x）=（3-x）e^x-2，令h（x）=（3-x）e^x-2（x＜2），
則h'（x）=（2-x）e^x-2＞0恒成立，
即h（x）在（-∞，2）是增函數，
所以當x＜2時，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g'（x）＜1，
又直線2x-3y+m=0的斜率為，直線3x-2y+n=0的斜率為，
所以由導數的幾何意義知曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0相切．
點評：本題考查利用導數求函數的極值、導數的幾何意義：函數在切點處的導數值是切線斜率，注意：在利用導數研究函數是，往往需要討論．