Question

(本題滿分12分)

已知函數．

（I）當時，求在最小值；

（Ⅱ）若存在單調遞減區間，求的取值范圍；

（Ⅲ）求證：（）．

Answer 1

(本題滿分12分)

（I），定義域為．

       ，                       

       在上是增函數．              

當時，；                               3分

（Ⅱ），

因為若存在單調遞減區間，所以有正數解．

即有的解．                              5分

①當a=0時，明顯成立．                                            

②當a<0時，開口向下的拋物線，總有的解；                                                           

③當a>0時，開口向上的拋物線，

即方程有正根．

因為，

所以方程有兩正根．

，解得．                             

綜合①②③知：．                                        9分

（Ⅲ）（法一）根據（Ⅰ）的結論，當時，，即．

令，則有，    ．

，

．                                    12分

 (法二)當時，．

，，即時命題成立．

設當時，命題成立，即 ．

 時，．

根據（Ⅰ）的結論，當時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．

因此，由數學歸納法可知不等式成立．                               12分