Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)且a₁，a₂+5，a₃成等差數列．
（1）求a₁的值；
（2）若數列{b_n}滿足bn=an+2n，求證數列{b_n}是等比數列．
（3）求滿足an＞

4

5

×3n的最小正整數n．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，及a₁，a₂+5，a₃成等差數列，即可求a₁的值；
（2）再寫一式，兩式相減，即可證得結論；
（3）確定數列的通項，利用an＞

4

5

×3n，即可求最小正整數n．

解答：（1）解：∵2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)
∴2a₁=a₂-3①，2（a₁+a₂）=a₃-7②
∵a₁，a₂+5，a₃成等差數列
∴2（a₂+5）=a₁+a₃，③
∴由①②③可得a₁=1；
（2）證明：∵2Sn=an+1-2n+1+1，
∴2Sn-1=an-2n+1（n≥2）
兩式相減可得2an=an+1-an-2n
∴an+1=3an+2n
∵數列{b_n}滿足bn=an+2n，
∴

bn+1

bn

=

an+1+2n+1

an+2n

=

3an+2n+2n+1

an+2n

=3（n≥2）
∵2a₁=a₂-3，
∴a₂=5
∴b₁=3，b₂=9
∴

b2

b1

=3
∴數列{b_n}是一個以3為首項，公比為3的等比數列．…（9分）
（3）解：由（2）知bn=3n，即an+2n=3n
∴數列{a_n}的通項公式是a_n=3ⁿ-2ⁿ．…（11分）
∴

an

3n

=1-(

2

3

)n＞

4

5

，即(

2

3

)n＜

1

5

，
所以n≥4，所以n的最小正整數為4．…（15分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查學生的計算能力，屬于中檔題．