Question

3．在正三角形ABC中，D是BC上的點，$AB=1，BD=\frac{1}{3}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 根據AB=1，BD=$\frac{1}{3}$，確定點D在正三角形ABC中的位置，根據向量加法滿足三角形法則，把 $\overrightarrow{AD}$用 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$表示出來，利用向量的數量積的運算法則和定義式即可求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$的值．

解答 解：∵AB=1，BD=$\frac{1}{3}$，
∴D是BC上的三等分點，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$）
=$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=1-$\frac{1}{3}$×1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$，
故答案為：$\frac{5}{6}$．

點評 此題是個中檔題．考查向量的加法和數量積的運算法則和定義，體現了數形結合和轉化的思想．