Question

某公司春節聯歡會中設一抽獎活動：在一個不透明的口袋中裝入外形一樣號碼分別為1，2，3，…，10的十個小球．活動者一次從中摸出三個小球，三球號碼有且僅有兩個連號的為三等獎；獎金30元，三球號碼都連號為二等獎，獎金60元；三球號碼分別為1，5，10為一等獎，獎金240元；其余情況無獎金．
（1）員工甲抽獎一次所得獎金的分布列與期望；
（2）員工乙幸運地先后獲得四次抽獎機會，他得獎次數的方差是多少？

Answer 1

分析：（1）由題意知甲抽一次獎，基本事件總數是C₁₀³，獎金的可能取值是0，30，60，240，結合變量對應的事件寫出變量對應的概率，寫出分布列和期望值．
（2）由（1）可得乙一次抽獎中獎的概率，和四次抽獎是相互獨立的，得到中獎的次數符合二項分布，根據二項分布的方差公式寫出結果．

解答：解：（1）由題意知甲抽一次獎，基本事件總數是C₁₀³=120，
獎金的可能取值是0，30，60，240，
∴一等獎的概率P（ξ=240）=

1

120

，
P（ξ=60）=

8

120

=

1

15

P（ξ=30）=

7×2+6×7

120

=

7

15

，
P（ξ=0）=1-

1

120

-

1

15

-

7

15

=

11

24

∴變量的分布列是ξ

ξ	0	30	60	240
P	11 24	7 15	1 15	1 120

∴E ξ=30×

7

15

+60×

1

15

+240×

1

120

=20
（2）由（1）可得乙一次抽獎中獎的概率是1-

11

24

=

13

24

四次抽獎是相互獨立的
∴中獎次數η～B（4，

13

，24

）
∴Dη=4×

13

24

×

11

24

=

143

144

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查二項分布的方差公式，解本題的關鍵是看清題目中所給的變量的特點，看出符合的規律，選擇應用的公式．