Question

設是定義在的可導函數，且不恒為0，記．若對定義域內的每一個，總有，則稱為“階負函數”；若對定義域內的每一個，總有，

則稱為“階不減函數”（為函數的導函數）．

（1）若既是“1階負函數”，又是“1階不減函數”，求實數的取值范圍；

（2）對任給的“2階不減函數”，如果存在常數，使得恒成立，試判斷是否為“2階負函數”？并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用在上單調遞增，借助求導的方法進行探究；（2）通過反證法進行證明.本

題關鍵在于判斷 在時無上界，再用單調性即可證出結論．

試題解析：（1）依題意，在上單調遞增，

故 恒成立，得，                          2分

因為，所以．                                               4分

而當時，顯然在恒成立，

所以．                                                          6分

（2）①先證：

若不存在正實數，使得，則恒成立．                8分

假設存在正實數，使得，則有，

由題意，當時，，可得在上單調遞增，

當時，恒成立，即恒成立，

故必存在，使得（其中為任意常數），

這與恒成立（即有上界）矛盾，故假設不成立，

所以當時，，即；                             13分

②再證無解：

假設存在正實數，使得，

則對于任意，有，即有，

這與①矛盾，故假設不成立，

所以無解，

綜上得，即，

故所有滿足題設的都是“2階負函數”．                      16分

考點：1.導數的應用；2.新定義問題；3.反證法.