Question

設命題p：函數f（x）=x²-2mx+1在[1，+∞）上是增函數，命題q：函數f（x）=lg（x²-mx+1）的定義域為R．
（1）若m=2，試判斷命題p的真假；
（2）若命題p與命題q一真一假，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把m=2代入函數解析式，直接舉例進行判斷；
（2）求出使函數f（x）=x²-2mx+1在[1，+∞）上是增函數的m的取值范圍，也就是命題p為真命題的m的范圍，取其補集得到使命題p為假命題的m的取值范圍，同樣求出使函數y=lg（x²-mx+1）的定義域是R的m的取值范圍，也就是使命題q為真命題的m的取值范圍，取其補集得到命題q為假命題的m的取值范圍，取交集后在取并集運算．

解答：解：（1）當m=2時，f（x）=x²-4x+1，f（1）=1²-4×1+1=-2，f（2）=2²-4×2+1=-3，
f（1）＞f（2），所以命題p為假命題；
（2）因為f（x）=x²-2mx+1的對稱軸方程為x=m，若p為真命題，則m≤1；p為假命題，m＞1．
若q是真命題，即f（x）=lg（x²-mx+1）的定義域為R，則（-m）²-4＜0，即-2＜m＜2；
若q是假命題，則m≤-2或m≥2．
當p真q假時，m≤-2；當p假q真時，1＜m＜2．
所以命題p與命題q一真一假的實數m的取值范圍是（-∞，-2]∪（1，2）．

點評：本題考查了復合命題的真假判斷，考查了二次函數單調性的判斷方法及對數型函數定義域的求法，解答過程運用了補集思想，關鍵是要熟記復合命題的真值表，屬基礎題．