Question

已知f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍為

a＜-3或a＞6

．

Answer 1

分析：先求出函數的導數，根據函數有極大值和極小值，可知導數為0的方程有兩個不相等的實數根，通過△＞0，即可求出a的范圍．

解答：解：函數f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1，所以函數f′（x）=3x²+2ax+（a+6），
因為函數有極大值和極小值，所以方程f′（x）=0有兩個不相等的實數根，
即3x²+2ax+（a+6）=0有兩個不相等的實數根，
∴△＞0，
∴（2a）²-4×3×（a+6）＞0，解得：a＜-3或a＞6
故答案為：a＜-3或a＞6

點評：本題以函數的極值為載體，考查導數在求函數極值的應用，將函數有極大值和極小值，轉化為方程f′（x）=0有兩個不相等的實數根是解題的關鍵．