Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD．SD=2，，E是SD上的點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BE；
（Ⅱ）求二面角C-AS-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：法一（Ⅰ）連接BD，證明AC垂直平面BDS內的兩條相交直線SD，BD，即可證明AC⊥平面BDS，從而證明AC⊥BE；
（Ⅱ）過點D在平面SAD內作DF⊥AS于F，連接CF．說明∠CFD是二面角C-AS-D的平面角，通過解三角形CFD求二面角C-AS-D的余弦值．
法二：以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz．
（Ⅰ）求出，，計算•=0，即可證明AC⊥BE；
（Ⅱ）求平面ACS的法向量為，平面ASD的一個法向量為，計算，求出二面角C-AS-D的余弦值．
解答：解：法一（Ⅰ）連接BD．因為底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．因為SD⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，所以AC⊥SD． （2分）
又因為SD∩BD=D，所以AC⊥平面BDS． （4分）
因為BE?平面BDS，所以AC⊥BE． （6分）

（Ⅱ）因為SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD．
因為底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD．
又因為SD∩AD=D，所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥AS． （8分）
過點D在平面SAD內作DF⊥AS于F，連接CF．
由于，DF∩CD=D，所以AS⊥平面DCF．所以AS⊥CF．
故∠CFD是二面角C-AS-D的平面角． （10分）
在Rt△ADS中，SD=2，，可求得．
在Rt△CFD中，，，可求得．
所以．即二面角C-AS-D的余弦值為．（12分）

法二：（Ⅰ）如圖以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz．
則D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），
C（0，，0），E（0，0，），S（0，0，2），
，=． （3分）
•=2-2+0=0，所以⊥．即AC⊥BE． （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（，0，-2），=（0，，-2）．
設平面ACS的法向量為=（x，y，z），
則由n⊥，n⊥得，即
取，得． （9分）
易知平面ASD的一個法向量為=（0，，0）．
設二面角C-AS-D的平面角為θ．則．
即二面角C-AS-D的余弦值為． （12分）
點評：本題考查點、線、面間的距離計算，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質，考查空間想象能力，邏輯思維能力，利用空間直角坐標系，解答立體幾何問題，可以說是有一定的規律，要求比較高，不允許出錯．