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如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD.SD=2,,E是SD上的點.
(Ⅰ)求證:AC⊥BE;
(Ⅱ)求二面角C-AS-D的余弦值.

【答案】分析:法一(Ⅰ)連接BD,證明AC垂直平面BDS內的兩條相交直線SD,BD,即可證明AC⊥平面BDS,從而證明AC⊥BE;
(Ⅱ)過點D在平面SAD內作DF⊥AS于F,連接CF.說明∠CFD是二面角C-AS-D的平面角,通過解三角形CFD求二面角C-AS-D的余弦值.
法二:以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz.
(Ⅰ)求出,計算=0,即可證明AC⊥BE;
(Ⅱ)求平面ACS的法向量為,平面ASD的一個法向量為,計算,求出二面角C-AS-D的余弦值.
解答:解:法一(Ⅰ)連接BD.因為底面ABCD是正方形,
所以AC⊥BD.因為SD⊥平面ABCD,
AC?平面ABCD,所以AC⊥SD. (2分)
又因為SD∩BD=D,所以AC⊥平面BDS. (4分)
因為BE?平面BDS,所以AC⊥BE. (6分)

(Ⅱ)因為SD⊥平面ABCD,所以SD⊥CD.
因為底面ABCD是正方形,所以AD⊥CD.
又因為SD∩AD=D,所以CD⊥平面SAD,
所以CD⊥AS. (8分)
過點D在平面SAD內作DF⊥AS于F,連接CF.
由于,DF∩CD=D,所以AS⊥平面DCF.所以AS⊥CF.
故∠CFD是二面角C-AS-D的平面角. (10分)
在Rt△ADS中,SD=2,,可求得
在Rt△CFD中,,可求得
所以.即二面角C-AS-D的余弦值為.(12分)

法二:(Ⅰ)如圖以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz.
則D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),
C(0,,0),E(0,0,),S(0,0,2),
=. (3分)
=2-2+0=0,所以.即AC⊥BE. (6分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得=(,0,-2),=(0,,-2).
設平面ACS的法向量為=(x,y,z),
則由n⊥,n⊥,即
,得. (9分)
易知平面ASD的一個法向量為=(0,,0).
設二面角C-AS-D的平面角為θ.則
即二面角C-AS-D的余弦值為. (12分)
點評:本題考查點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質,考查空間想象能力,邏輯思維能力,利用空間直角坐標系,解答立體幾何問題,可以說是有一定的規律,要求比較高,不允許出錯.
練習冊系列答案
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3
,點E、G分別在AB,SG 上,且AE=
1
3
AB  CG=
1
3
SC.
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π4
. 
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