Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

，E、F分別為PC、BD的中點．
（I）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若G為線段AB的中點，求二面角C-PD-G的余弦值．

Answer 1

分析：（I）連接AC，利用三角形中位線的性質，證明EF∥PA，利用線面平行的判定，可得EF∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD的中點O，連結OP，OF，以O為原點，直線OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面PDC的一個法向量、平面PGD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結論．

解答：（I）證明：連接AC，則F是AC的中點，
在△CPA中，∵E為PC的中點，
∴EF∥PA，
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：取AD的中點O，連結OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵側面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴PO⊥面ABCD，
而O，F分別為AD，BD的中點，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA=PD=

2

，AD=2，∴PA⊥PD，OP=OA=1
以O為原點，直線OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則有A（1，0，0），G（1，1，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），
∵側面PAD⊥底面ABCD，AD⊥DC，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA
∵PD∩DC=D，且CD、PD?面PDC
∴PA⊥平面PCD
∴平面PDC的一個法向量為

PA

=（1，0，-1）
設平面PGD的一個法向量為

n

=（x，y，z）
∵

DP

=(1，0，1)，

GD

=(-2，-1，0)
∴由

n • DP =0 n • GD =0

可得

x+z=0 -2x-y=0

∴可取

n

=(1，-2，-1)
∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • PA

| n || PA |

=

2

2 • 6

=

3

3

∴二面角C-PD-G的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查二面角的平面角及求法，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．