Question

已知函數f(x)=lnx-

a(x-1)

x+1

，a∈R．
（Ⅰ）若x=2是函數f（x）的極值點，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設m，n為正實數，且m＞n，求證：

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

．

Answer 1

分析：（I）根據x=2是函數f（x）的極值點，則f′（2）=0可求出a的值，然后求出切線的斜率和切點，從而可求出切線方程；
（II）根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，通分后根據函數f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，得到分子大于0恒成立，解出2a-2小于等于一個函數關系式，利用基本不等式求出這個函數的最小值，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍；
（III）把所證的式子利用對數的運算法則及不等式的基本性質變形，即要證ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，根據（II）得到h（x）在x大于等于1時單調遞增，且

m

n

大于1，利用函數的單調性可得證．

解答：解：（I）f′（x）=

1

x

-

a(x+1)-a(x-1)

(x+1)2

=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

，
由題意知f′（2）=0，解得a=

9

4

，經檢驗符合題意．
從而切線的斜率為k=f′（1）=-

1

8

，切點為（1，0）
切線方程為x+8y-1=0
（II）f′（x）=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

，
因為f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
即x²+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
當x∈（0，+∞）時，由x²+（2-2a）x+1≥0，
得：2a-2≤x+

1

x

，
設g（x）=x+

1

x

，x∈（0，+∞），
則g（x）=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當且僅當x=

1

x

即x=1時，g（x）有最小值2，
所以2a-2≤2，解得a≤2，所以a的取值范圍是（-∞，2]；
（III）要證

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

，只需證

m n -1

ln m n

＜

m n +1

2

，
即ln

m

n

＞

2( m n -1)

m n +1

，即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
設h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，
由（II）知h（x）在（1，+∞）上是單調增函數，又

m

n

＞1，
所以h（

m

n

）＞h（1）=0，即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0成立，
得到

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

．

點評：本題主要考查了學生會利用導函數的正負確定函數的單調區間，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，會利用基本不等式求函數的最小值，是一道中檔題．