Question

已知f(x)=x³-3x+m在區間[0,2]上任取三個不同的數a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)為邊長的三角形,則m的取值范圍是　　　　　.

Answer 1

m>6

f(x)=x³-3x+m,f'(x) =3x²-3,由f'(x)=0得到x=1或x=-1,在[0,2]上,函數先減小后增加,計算兩端及最小值f(0)=m,f(2)=2+m,f(1)=-2+m.在[0,2]上任取三個不同的數a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)為邊的三角形,三個不同的數a,b,c對應的f(a),f(b),f(c)可以有兩個相同.由三角形兩邊之和大于第三邊,可知最小邊長的二倍必須大于最大邊長.
由題意知,f(1)=-2+m>0　　　　　　①
f(1)+f(1)>f(0),得到-4+2m>m      ②
f(1)+f(1)>f(2),得到-4+2m>2+m   ③
由①②③得到m>6,即為所求.