Question

已知函數(shù)f（x）=x²ln|x|若關(guān)于x的方程f（x）=kx-1有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

A．（-∞，-1]∪[1，+∞）

B．（-∞，-2]∪[2，+∞）

C．（-∞，-2]∪[1，+∞）

D．（-∞，-1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：由題意可得，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx-1有交點(diǎn)，先看當(dāng)k＞0時(shí)，用導(dǎo)函數(shù)求出當(dāng)直線y=kx-1與f（x）的圖象相切時(shí)k的值，再根據(jù)對(duì)稱性求出k＜0時(shí)直線y=kx-1與f（x）的圖象相切時(shí)k的值，進(jìn)而求出f（x）=kx-1有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：由題意可得，函數(shù)f（x）=x²ln|x|的圖象和直線y=kx-1有交點(diǎn)，
由于函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），故f（x）是偶函數(shù)，
函數(shù)f（x）的圖象如圖．
先求當(dāng)直線y=kx-1與f（x）的圖象相切時(shí)k的值．
當(dāng)k＞0時(shí)，f'（x）=x•（2lnx+1）
設(shè)切點(diǎn)為P（a，f（a）），
則切線方程為y-f（a）=f'（a）（x-a），
將x=0，y=-1代入，得-1-f（a）=f'（a）（-a）
即a²lna+a²-1=0（*）．
顯然，a=1滿足（*），
而當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a²lna+a²-1＜0，
當(dāng)a＞1時(shí)，a²lna+a²-1＞0，
∴（*）有唯一解a=1，此時(shí)k=f'（1）=1．
再由對(duì)稱性，k=-1時(shí)，y=kx-1也與f（x）的圖象相切，
∴若方程f（x）=kx-1有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞），
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，常利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．