Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n-1=（

1

2

）ⁿ（n≥2），S_n=a₁•2+a₂•2²+…+a_n•2ⁿ，類比課本中推導等比數列前n項和公式的方法，可求得3S_n-a_n•2ⁿ⁺¹=

 

．

Answer 1

分析：先對S_n=a₁•2+a₂•2²+…+a_n•2ⁿ 兩邊同乘以2，再相加，求出其和的表達式，整理即可求出3S_n-a_n•2ⁿ⁺¹的表達式．

解答：解：由S_n=a₁•2+a₂•2²+…+a_n•2ⁿ ①
得2•s_n=a₁•2²+a₂•2³+…+a_n•2ⁿ⁺¹ ②
①+②得：3s_n=2a₁+2²（a₁+a₂）+2³•（a₂+a₃）+…+2ⁿ•（a_n-1+a_n）+a_n•2ⁿ⁺¹ 
=2a₁+2²×（

1

2

）²+2³×（

1

2

）³+…+2ⁿ×（

1

2

）ⁿ+a_n•2ⁿ⁺¹
=2+1+1+…+1+2ⁿ⁺¹•a_n
=n+1+2ⁿ⁺¹•a_n．
所以3S_n-a_n•2ⁿ⁺¹=n+1．
故答案為n+1．

點評：本題主要考查數列的求和，用到了類比法，是一道比較新穎的好題目，關鍵點在于對課本中推導等比數列前n項和公式的方法的理解和掌握．