Question

如圖：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長為1，黑白二蟻都從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”．白蟻爬行的路線是AA₁→A₁D₁→…，黑蟻爬行的路線是AB→BB₁→…．它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段所在直線與第i段所在直線必須是異面直線（其中i∈N^*）．設(shè)黑白二蟻?zhàn)咄甑?014段后，各停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑白蟻的距離是（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．0

Answer 1

分析：先根據(jù)題意，通過前幾步爬行觀察白螞蟻與黑螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點(diǎn)，得到每爬6步回到起點(diǎn)，周期為6．再計(jì)算黑螞蟻與白螞蟻爬完2014段后，各自達(dá)哪個(gè)點(diǎn)頂點(diǎn)處，利用正方體的性質(zhì)和棱長為1加以計(jì)算，即可得到此時(shí)它們的距離．

解答：解：由題意，可得
白螞蟻爬行路線為AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA，即走過6段后又回到起點(diǎn)A，可以看作以6為周期，
同理，黑螞蟻也是過6段后又回到起點(diǎn)A，以6為周期．
因此，白螞蟻爬完2010段后回到A點(diǎn)，再爬4段：AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C到達(dá)終點(diǎn)C，
同理可得黑螞蟻爬完2010段后到回到A點(diǎn)，再爬4段：AB→BB₁→B₁C₁→C₁D₁到達(dá)的終點(diǎn)D₁．
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，∴CD₁=

2

，
可得黑白二蟻?zhàn)咄甑?014段后，它們的距離是

2

故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)創(chuàng)新例子為載體，考查正方體的性質(zhì)和距離的計(jì)算，同時(shí)考查了歸納推理的能力、空間想象能力、異面直線的定義等相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．