Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，點E，F，D分別為線段PA，PB，AC的中點，點G是線段CO的中點，AB=BC=AC=4，PA=PC=，
求證：（Ⅰ）PA⊥平面EBO；
（Ⅱ）FG∥平面EBO。

Answer 1

證明：由題意可知，△PAC為等腰直角三角形， △ABC為等邊三角形， （Ⅰ）因為O為邊AC的中點，所以BO⊥AC， 因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC， BO平面ABC， 所以BO⊥面PAC， 因為PA平面PAC，所以BO⊥PA， 在等腰三角形PAC內，O，E為所在邊的中點， 所以OE⊥PA， 又BO∩OE=O， 所以PA⊥平面EBO；
（Ⅱ）連接AF交BE于Q，連接QO， 因為E，F，O分別為邊PA，PB，AC的中點， 所以，且Q是△PAB的重心， 于是， 所以FG∥QO， 因為FG平面EBO，QO平面EBO， 所以FG∥平面EBO。