Question

函數(shù)f（x）=

x2+a(x≤0) 4sinx(0＜

x＜π)
①f（x）在（-∞，π）內(nèi)連續(xù)，則a=

0

②若①成立，則集合{x|f（f（x））=0}元素的個數(shù)有

5

．

Answer 1

分析：①根據(jù)f（x）在（-∞，π）內(nèi)連續(xù)建立等式關(guān)系，解之即可求出a；
②根據(jù)分段函數(shù)f（x）解析式，我們結(jié)合集合元素要滿足的性質(zhì)f（f （x））=0，易通過分類討論求了所有滿足條件的x的值，進而確定集合中元素的個數(shù)．

解答：解：①∵f（x）在（-∞，π）內(nèi)連續(xù)，
∴f（0）=a=4sin0
即a=0
故答案為：0
②f(x)=

x2    (x≤0) 4sinx(0＜x＜π)

當(dāng)x≤0時，f（x）=0可得x=0
當(dāng)0＜x≤π時，若f（x）=4sinx=0，則sinx=0，則x=π
當(dāng)x≤0時，若f（x）=x²=π，則x=-

π

，
當(dāng)0＜x≤π時，若f（x）=4sinx=π，則sinx=

π

4

，則x=arcsin

π

4

，π-arcsin

π

4

又∵f[f （x）]=0
∴f （x）=0，或f （x）=π
∴x=-

π

，或x=0，或x=arcsin

π

4

，或 π-arcsin

π

4

，或x=π
故答案為：5

點評：本題主要考查了函數(shù)的連續(xù)性，以及集合中元素的個數(shù)及分段函數(shù)的函數(shù)值，其中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，利用分類討論的思想構(gòu)造關(guān)于x的方程是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．