Question

將棱長相等的正方體按圖所示方式固定擺放，其中第1堆只有一層，就一個正方體；第2，3，…，n堆分別有二層，三層，…，n層，每堆最頂層都只有一個正方體，以f（n）表示第n堆的正方體總數，則f（3）=

 

；f（n）

 

（答案用n表示）．

Answer 1

分析：觀察圖形，結合已知可得f（1）=1，f（2）=4，f（3）=10
由圖中的規律可得f（n）-f（n-1）=（1+2+3+…+n）
從而可得f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（n）-f（n-1）]
代入可求

解答：解：顯然，f（1）=1，f（2）=4，f（3）=10
∵f（k）=f（k-1）+（1+2+3+…+k）=f（x-1）+

1

2

(k2+k)，
∴f（k）-f（k-1）=（1+2+3+…+k）=

1

2

(k2+k)，
從而f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（n）-f（n-1）]
=1+

1

2

(22+2)+

1

2

(32+3)+…+

1

2

(n2+n)
=

1

2

(12+22+32+…+n2)+

1

2

(1+2+3+…+n)
=

1

2

×

1

6

n(n+1)(2n+1)+

1

2

×

1

2

n(n+1)
=

1

6

n(n+1)(2n+1)
故答案為：10；

n(n+1)(n+2)

6

點評：本題主要考查了數列的通項公式在實際中的應用，解決本題的關鍵有兩點：①由圖形中的擺放歸納出一般規律f（k）-f（k-1）=（1+2+3+…+k）②要能利用跌代的方法求f（n）．