Question

已知函數(shù)f(x)=2(cos2x+

3

sinxcosx)+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求其單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（

π

6

+2x）+2，從而求出函數(shù)的最小正周期，再令2kπ-

π

2

≤

π

6

+2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范圍，即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求出

π

6

+2x的范圍，可得sin（

π

6

+2x） 的范圍，從而求得2sin（

π

6

+2x）+2的范圍，即為所求．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=2(cos2x+

3

sinxcosx)+1=cos2x+

3

sin2x+2
=2sin（

π

6

+2x）+2，
故它的最小正周期等于

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤

π

6

+2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，

π

6

+2x∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（

π

6

+2x）∈[-

1

2

，1]，
2sin（

π

6

+2x）+2∈[1，4]，
故函數(shù)的值域?yàn)閇1，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、定義域和值域，屬于中檔題．