Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是.

（Ⅰ）寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)曲線(xiàn)的焦點(diǎn)且與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由直線(xiàn)的參數(shù)方程消去參數(shù)得直線(xiàn)的普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）根據(jù)已知條件可得直線(xiàn)的參數(shù)方程，將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程中，根據(jù)直線(xiàn)參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義和交點(diǎn)的中點(diǎn)可得的值.

（Ⅰ）∵直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

∴直線(xiàn)的普通方程為 ，

由，得，即，

∴曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，

（Ⅱ）∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)曲線(xiàn)的焦點(diǎn)

∴ ，直線(xiàn)的傾斜角．

∴直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

代入，得，

設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為．

∵為線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為．

又點(diǎn)，則.