Question

已知x，y，z∈R，有下列不等式：
（1）x²+y²+z²+3≥2（x+y+z）；（2）；（3）|x+y|≤|x-2|+|y+2|；（4）x²+y²+z²≥xy+yz+zx．
其中一定成立的不等式的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：由x²+y²+z²+3-2（x+y+z）=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0 知（1）成立，通過舉反例可得（2）不成立，由|x-2|+|y+2|≥|（x-2 ）+（y+2）|=|x+y|，可知（3）成立，由x²+y²+z²-（xy+yz+zx）=≥0  可得（3）成立．
解答：解：∵x²+y²+z²+3-2（x+y+z）=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0，故有x²+y²+z²+3≥2（x+y+z），故（1）成立．
當x，y中，一個為正數，而另一個為負數時，（2）不成立．
由不等式的性質得|x-2|+|y+2|≥|（x-2 ）+（y+2）|=|x+y|，故（3）成立．
x²+y²+z²-（xy+yz+zx）=≥0，故（4）成立．
綜上，（1） （3） （4） 正確，
故答案為  （1） （3） （4）．
點評：本題考查平均值不等式的性質，以及絕對值不等式的性質得應用．