Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n且a_n≠0(n∈N^*)，S₁，S₂，…，S_n，…成等比數列，試問數列a₂，a₃，a₄，…，a_n，…成等比數列嗎？證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：設a1＝a，則S1＝a1＝a．因為{Sn}成等比數列，設公比為q，則Sn＝S1qn－1＝aqn－1．當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝aqn－1－aqn－2＝aqn－2(q－1)， 　　an+1＝Sn+1－Sn＝aqn－aqn－1＝aqn－1(q－1)． 　　當q＝1時，{Sn}為常數列，此時an＝0與題設條件an≠0矛盾，所以q≠1． 　　所以＝＝q(n≥2，n∈N*)． 　　故數列a2，a3，…an，…成等比數列． 　　思路解析：判斷a2，a3，…，…是否成等比數列，即是判斷(n≥2)是否是常數．由題設條件可得到Sn的表達式．問題轉化為已知Sn求an的問題．