Question

 

設拋物線的方程為，為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為,.

（1）當的坐標為時，求過三點的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關系；

（2）求證：直線恒過定點.

 

 

Answer 1

【答案】

 設拋物線的方程為，為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為,.

（1）當的坐標為時，求過三點的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關系；

（2）求證：直線恒過定點；

解：(1)當的坐標為時，設過點的切線方程為，代入，整理得，

令，解得，

代入方程得，故得，       ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

因為到的中點的距離為，

從而過三點的圓的方程為．

易知此圓與直線相切.              ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）證法一：設切點分別為,,過拋物線上點的切線方程為，代入，整理得    

，又因為，所以．．．．．．．．．．．．．．．．6分

從而過拋物線上點的切線方程為即

又切線過點，所以得    ①   即．．．．8分

同理可得過點的切線為，

又切線過點，所以得    ②  ．．．．10分

即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

即點，均滿足即，故直線的方程為     ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點       .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

證法二：設過的拋物線的切線方程為，代入，消去，得    

即：．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

從而，此時，

所以切點的坐標分別為，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

因為，，

，

所以的中點坐標為.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

故直線的方程為，即.．．．．．．．．．．12分

又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點       .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

證法三：由已知得，求導得，切點分別為,，故過點的切線斜率為，從而切線方程為即

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又切線過點，所以得    ①   即．．．．．．．．８分

同理可得過點的切線為，

又切線過點，所以得    ②  即．．．．．．．．10分

即點，均滿足即，故直線的方程為                                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點       .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分