Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）證明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）（理）求二面角A₁-DE-B的大小．
（文）異面直線A₁C與AB所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，建立空間直角坐標系D-xyz．用坐標表示向量，從而可證

A1C

•

DB

=0，

A1C

•

DE

=0，故有A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）先求平面的法向量，利用向量n=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，則n⊥

DE

，n⊥

DA1

．再用向量的夾角公式求解即可
（文）

A1C

=(-2，2，-4)，

AB

=(0，2，0)再用向量的夾角公式求解即可求異面直線A₁C與AB所成的角．

解答：解：
以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，
建立如圖所示直角坐標系D-xyz．
依題設，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．

DE

=(0，2，1)，

DB

=(2，2，0)，

A1C

=(-2，2，-4)，

DA1

=(2，0，4)．
（Ⅰ）因為

A1C

•

DB

=0，

A1C

•

DE

=0，A₁C⊥BD，A₁C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）設向量n=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，則n⊥

DE

，n⊥

DA1

．
故2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，則z=-2，x=4，n=（4，1，-2）．?n，

A1C

＞等于二面角A₁-DE-B的平面角，cos?

n

，

A1C

＞=

n • A1C

| n || A1C |

=

14

42

．
所以二面角A₁-DE-B的大小為arccos

14

42

．
（文）

A1C

=(-2，2，-4)，

AB

=(0，2，0)
∴cos＜

A1C

，

AB

＞ =

4

4 6

=

6

6

∴異面直線A₁C與AB所成的角為arccos

6

6

．

點評：本題以正四棱柱為載體，考查線面位置關系，考查線線角，面面角，關鍵是構建空間直角坐標系．