Question

在極坐標系中若曲線ρ=1（θ∈[0，π]）與ρ=

b

sinθ-cosθ

有兩個不同的交點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：如圖：在直角坐標系中，曲線ρ=1的方程為 x²+y²=1，y≥0，ρ=

b

sinθ-cosθ

即y=x+b，當b=1時，直線和AB重合，由1=

|0-0+b|

2

，可得b=

2

，故當b=

2

時，直線和半圓相切，從而求得實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：在直角坐標系中，曲線ρ=1表示一個以原點為圓心，以1為半徑且位于x軸上方的半圓，方程為x²+y²=1，y≥0，
ρ=

b

sinθ-cosθ

表示斜率等于1，在y軸上的截距為b的直線，方程為 y=x+b，如圖：A （1，0），B（0，1），C（1，1），
當b=1時，直線和AB重合，與半圓由兩個交點．根據(jù)直線和半圓相切，圓心到直線的距離等于半徑可得
 1=

|0-0+b|

2

，可得b=

2

，故當b=

2

時，直線和半圓相切于點C，
故所求的實數(shù)b的取值范圍為 [1，

2

)，故答案為：[1，

2

)．

點評：本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，求出當b=

2

時，直線和半圓相切于點C，是解題的關(guān)鍵．