Question

已知二次函數y＝－x²＋2ax＋(a－2)在x∈［－1，2］上有最大值4，求實數a的值.

Answer 1

解析：該二次函數的圖象開口向下，因而若x∈R，則y＝－(x－a)²＋a²＋a－2,即當x＝a時，y _max＝a²＋a－2,目前規定x∈［1,2］,解題時應分a∈［1,2］以及a＜1,a＞2三種情況討論（三種情況中最大值的取值均不同）.

答案：y＝－x²＋2ax＋(a－2)＝―（x―a）²＋a²＋a－2,?

①若a∈［－1,2］,則當x＝a時，y _max＝a²＋a－2,由題意知a²＋a－2=4,而a²＋a－6＝0,a=-3或a＝2,

∵a∈［－1,2］,∴a＝2符合條件.?

②若a＜－1，∵二次函數y＝f(x)在［a,＋∞)上單調遞減，即在［－1，2］上單調遞減，∴當x＝－1時，y _max＝―1,―2a＋a－2＝―a―3,由―a―3＝4，得a＝－7(＜－1),?

∴a＝－7符合條件.

③若a＞2,則二次函數y＝f(x)在［－1,2］上單調遞增，∴當x＝2時，y _max＝－4＋4a＋a－2＝5a―6.由5a―6＝4得a＝2(≯2),∴此時不存在符合條件的a,綜上，符合條件的a的值為2或－7.