Question

已知偶函數f（x）在[0，+∞）上為增函數，且f（

1

2

）=0．求不等式f（log_ax）＞0（a＞0，且a≠1）的解集．

Answer 1

分析：由偶函數在對稱區(qū)間上單調性相反，可判斷出f（x）在[0，+∞）上是增函數，在（-∞，0）上是減函數，進而根據f（-

1

2

）=f（

1

2

）=0．可將不等式f（log_ax）＞0化為對數不等式，分類討論并根據對數函數的單調性可得答案．

解答：解：因為f（

1

2

）=0．
所以不等式f（log_ax）＞0 等價于f（log_ax）＞f（

1

2

）
因為偶函數f（x）在[0，+∞）上是增函數，所以（-∞，0）上是減函數
（1）當log_ax≥0時，log_ax＞

1

2

若0＜a＜1，解得0＜x＜

a

；
若a＞1，解得x＞

a

；
（2）當log_ax＜0時，log_ax＜-

1

2

；
若0＜a＜1，解得x＞

a

a

；
若a＞1，解得0＜x＜

a

a

；
即：0＜a＜1時不等的解集（0，

a

）∪（

a

a

，+∞）；
a＞1時不等的解集（0，

a

a

）∪（

a

，+∞）；

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質，函數的單調性與奇偶性，熟練掌握對數函數的圖象和性質是解答的關鍵．