Question

已知ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△OED，ODF都是正三角形．
（Ⅰ）證明：平面ABC∥平面OEF；
（Ⅱ）求棱錐F-ABC的體積；
（III）求異面直線AB與FD成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角形中位線的性質證明故BC∥EF，AC∥OF，即可證明平面ABC∥平面OEF；
（Ⅱ）利用等體積V_F-ABC=V_C-ABE=V_C-ABO，即可求棱錐F-ABC的體積；
（III）證明∠COE（或其補角）就是異面直線AB與FD成角，取AO中點M，連接CM，ME，則CM⊥平面ABED，在△COE中，利用余弦定理，即可求異面直線AB與FD成角的余弦值．
解答：（I）證明：設G是線段DA與線段EB延長線的交點，
由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB=DE
同理，設G′是線段DA與線段FC延長線的交點，有OG′=OD=2，
又由于G與G′都在線段DA的延長線上，所以G與G′重合，
在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB=DE和OC∥DF，OC=DF，
可知B，C分別是GE，GF的中點，
所以BC是△GFE的中位線，故BC∥EF
同理AC∥OF，∴平面ABC∥平面OEF；
（Ⅱ）解：過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q．由平面ABED⊥平面ACFD，F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=，
由（I）知，V_F-ABC=V_C-ABE=V_C-ABO===；
（III）解：由（I）知，AB∥OE，CO∥DF
∴∠COE（或其補角）就是異面直線AB與FD成角，
取AO中點M，連接CM，ME，則CM⊥平面ABED，
∵ME==
∴CE===
在△COE中，cos∠COE==-
∴異面直線AB與FD成角的余弦值是．
點評：本題考查面面平行，考查三棱錐體積的計算，考查異面直線所成角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．