Question

已知，數列的前項和為，點在曲線上，且，.

（1）求數列的通項公式；

（2）數列的前項和為，且滿足，，求數列的通項公式；

（3）求證：，.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先根據函數的解析式，由條件“點在曲線上”上得出與之間的遞推關系式，然后進行變形得到，于是得到數列為等差數列，先求出數列的通項公式，進而求出數列的通項公式；（2）根據（1）中的結果結合已知條件得到

，兩邊同時除以，得到，構造數列為等差數列，先求出數列的通項公式，然后求出，然后由與之間的關系求出數列的通項公式；（3）對數列中的項進行放縮法

，再利用累加法即可證明相應的不等式.

試題解析：（1）且，∴，

數列是等差數列，首項，公差，，

，；

（2）由，，

得，，

數列是等差數列，首項為，公差為，

∴，，當時，，

也滿足上式，，；

（3），

.

考點：1.構造等差數列求通項；2.定義法求通項公式；3.放縮法證明數列不等式