Question

【題目】△ABC中，A、B、C的對邊分別為a，b，c，面積為S，滿足S= （a2+b2﹣c2）．
（1）求C的值；
（2）若a+b=4，求周長的范圍與面積S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵S= absinC，cosC= ，

即a2+b2﹣c2=2abcosC，

∴S= （a2+b2﹣c2）變形得： absinC= ×2abcosC，

整理得：tanC= ，

又0＜C＜π，

則C= ；

（2）解：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得c2=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，

由a+b=4≥2 （當且僅當a=b取等號），

即有0＜ab≤4，

則c∈[2，4），

則周長的范圍是[6，8）；

△ABC的面積為S= absinC= ab≤ ，

當且僅當a=b=2，取得最大值 ．

【解析】（1）運用三角形的面積公式和余弦定理，結合同角的商數關系，特殊角的三角函數值，可得角C；（2）運用余弦定理和基本不等式，以及三角形的面積公式，可得最大值．